Чтобы решить квадратные неравенства вспомним, что такое квадратичная функция?
Квадратичная функция – это функция записанная формулой : y=ax2+bx+c, где x – независимая переменная, a, b и c – некоторые числа, при этом a≠0.
Графиком квадратичной функции является парабола.
В зависимости от значения a ветви графика направлены вверх или вниз:
- если a>0, то ветви параболы направлены вверх;
- если a<0, то ветви параболы направлены вниз;
- точки пересечения параболы с осью x, называются нулями функции и являются корнями квадратного уравнения: ax2+bx+c=0
Квадратные неравенства имеют вид.
ax2+bx+c>0
ax2+bx+c<0
ax2+bx+c≥0
ax2+bx+c≤0
Чтобы начать решать квадратные неравенства, необходимо знать как решаются квадратные уравнения?
А также для графического метода решения неравенства, необходимо знать алгоритм построения квадратичной функции или параболы?
Как решать квадратные неравенства?
Решение квадратных неравенств рассмотрим на примерах. Для начала разберем случаи, когда у квадратного уравнения дискриминант меньше нуля (нет корней).
Пример:
3x2+2x+20>0
Приравняем к 0
3x2+2x+20=0
D=22—4•3•20=—236
Дискриминант меньше нуля —236, следовательно у уравнения нет корней, а это значит, что весь график параболы находится выше оси х, потому что а=3>0 (ветви параболы смотрят вверх)
Можно проверить себя взяв любое число с числовой прямой, например число 1. Подставить число 1 вместо переменой х в неравенство 3x2+2x+20>0.
3•12+2•1+20>0
25>0
Получили верное неравенство 25>0, следовательно так как у нас нет корней уравнения нам подойдут все точки числовой прямой.
Ответ: x∈(-∞; +∞)
Пример:
Рассмотрим этот же пример со знаком неравенства меньше 0
3x2+2x+20<0
Приравняем к 0
3x2+2x+20=0
D=22—4•3•20=—236
Дискриминант меньше нуля —236, следовательно у уравнения нет корней, значит парабола не пересекает ось x. Весь график параболы находится выше оси х, потому что а=3>0.
А знак уравнения меньше <0. Так как ниже оси x у нас нет параболы, следовательно нет решения у данного неравенства.
Можно проверить себя взяв любое число с числовой прямой, например число 1. Подставить число 1 вместо переменой х в неравенство 3x2+2x+20<0.
3•12+2•1+20<0
25<0
Получили неверное неравенство 25<0, следовательно у неравенства нет решения или пустое множество ø.
Ответ: x∈ ø
Пример:
Рассмотрим следующий пример.
x2+x-2<0
Приравняем к 0
x2+x-2=0
D=12—4•1•(—2)=9
x1=(-1+3)⁚2=1
x2=(-1-3)⁚2=-2
Дискриминант больше нуля, следовательно у уравнения два корня, значит парабола пересекает ось x в точка x=1 и x=-2. Ветви параболы смотрят вверх, потому что а=1>0.
Знак уравнения меньше <0. Нам в ответ необходимо записать часть параболы, которая находится ниже оси x. Визуально графически можно оценить по картинке, нам подходит интервал (-2;1).
Также можно решить методом интервалов. Ось x делится на три участка. Первый участок (-∞;-2). На этом участке можно взять любое число меньше -2, например возьмем число -3 и подставим в неравенство x2+x-2<0 вместо переменой x.
(-3)2+(-3)-2<0
4<0
Получили неверное неравенство 4<0, следовательно у неравенства нет решения на участке (-∞; 2).
Второй участок (-2; 1). На этом участке можно взять число 0.
(0)2+(0)-2<0
-2<0
Получили верное неравенство -2<0, следовательно этот участок (-2; 1) подходит нам для ответа.
Третий участок (1; +∞). На этом участке можно взять число 2.
(2)2+(2)-2<0
4<0
Получили неверное неравенство 4<0, следовательно у неравенства нет решения на участке (1; +∞).
Ответ: x∈(-2; 1)
Пример:
Рассмотрим этот же пример с другим знаком неравенства.
x2+x-2>0
x2+x-2=0
D=12—4•1•(—2)=9
x1=(-1+3)⁚2=1
x2=(-1-3)⁚2=-2
Дискриминант больше нуля, следовательно у уравнения два корня, значит парабола пересекает ось x в точка x=1 и x=-2. Ветви параболы смотрят вверх, потому что а=1>0.
Знак уравнения больше >0. Нам в ответ необходимо записать часть параболы, которая находится выше оси x. Визуально графически можно оценить по картинке, нам подходят интервалы (-∞;-2) и (1;+∞).
Также можно решить методом интервалов. Ось x делится на три участка.
Первый участок (-∞;-2). На этом участке можно взять любое число меньше -2, например возьмем число -3 и подставим в неравенство x2+x-2<0 вместо переменой x.
(-3)2+(-3)-2>0
4>0
Получили верное неравенство 4>0, следовательно этот интервал (-∞; 2) подходит.
Второй участок (-2; 1). На этом участке можно взять число 0.
(0)2+(0)-2>0
-2>0
Получили неверное неравенство -2>0, следовательно этот интервал (-2; 1) не подходит.
Третий участок (1; +∞). На этом участке возьмем число 2.
(2)2+(2)-2>0
4>0
Получили верное неравенство 4>0, следовательно этот интервал (1; +∞) подходит.
Ответ: x∈(-∞; 2)⋃(1; +∞)