Квадратные уравнения.

Как решить квадратное уравнение?
Как выглядит формула квадратного уравнения?
Какие бывают квадратные уравнения?
Что такое полное квадратное уравнение?
Что такое неполное квадратное уравнение?
Что такое дискриминант?
Сколько корней имеет квадратное уравнение?
Эти вопросы вас больше не будут мучить, после изучения материала.

Формула квадратного уравнения:

ax²+bx+c=0,где a≠0

где x — переменная,
a,b,c — числовые коэффициенты.

Пример полного квадратного уравнения:

3x²-3x+2=0
x²-16x+64=0

Решение полных квадратных уравнений сводится к нахождению дискриминанта:

Формула дискриминанта:

D=b²-4aс

Если D>0, то уравнение имеет два корня и находим эти корни по формуле:

Если D=0, уравнение имеет один корень

Если D<0, уравнение не имеет вещественных корней.

Рассмотрим пример №1:

x²-x-6=0

Записываем сначала, чему равны числовые коэффициенты a, b и c.

Коэффициент a всегда стоит перед x², коэффициент b  всегда перед переменной x, а коэффициент  c – это свободный член.
a=1,b=-1,c=-6

Находим дискриминант:
D=b²-4ac=(-1)²-4∙1∙(-6)=1+24=25

Дискриминант больше нуля, следовательно, у нас два корня, найдем их:

Ответ: x₁=3; x₂=-2

Пример №2:
x²+2x+1=0
Записываем, чему равны числовые коэффициенты a,b и c.
a=1,b=2,c=1
Далее находи дискриминант.
D=b²-4ac=(2)²-4∙1∙1=4-4=0
Дискриминант равен нулю, следовательно, один корень:
x=-b/2a=-2/(2∙1)=-1

Ответ: x=-1

Пример №3:
7x²-x+2=0
Записываем, чему равны числовые коэффициенты a,b и c.
a=7,b=-1,c=2
Далее находи дискриминант.
D=b²-4ac=(-1)²-4∙7∙2=1-56=-55
Дискриминант меньше нуля, следовательно, корней нет.

Рассмотрим неполное квадратное уравнение:
ax²+bx=0, где числовой коэффициент c=0.

Пример как выглядят такие уравнения:
x²-8x=0
5x²+4x=0

Чтобы решить такое уравнение необходимо переменную x вынести за скобки. А потом каждый множитель приравнять к нулю и решить уже простые уравнения.

ax²+bx=0
x(ax+b)=0
x₁=0 x₂=-b/a

Пример №1:
3x²+6x=0
Выносим переменную x за скобку,
x(3x+6)=0
Приравниваем каждый множитель к нулю,
x₁=0

3x+6=0
3x=-6
Делим все уравнение на 3, чтобы получить у переменной x коэффициент равный 1.
x=(-6)/3
x₂=-2

Ответ: x₁=0; x₂=-2

Пример №2:
x²-x=0
Выносим переменную x за скобку,
x(x-1)=0
Приравниваем каждый множитель к нулю,
x₁=0

x-1=0
x₂=1

Ответ: x₁=0; x₂=1

Рассмотрим неполное квадратное уравнение:
ax²+c=0, где числовой коэффициент b=0.

Чтобы решить это уравнение, нужно записать так:
x²=c/a , если число c/a будет отрицательным числом, то уравнение не имеет решения.
А если c/a положительное число, то решение выглядит таким образом:

Пример №1:
x²+5=0
x²=-5, видно, что -5<0, значит нет решения.
Ответ: нет решения

Пример №2:
3x²-12=0
3x²=12
x²=12/3
x²=4

4>0 следовательно, есть решение,
x₁=√4
x₁=2

x₂=-√4
x₂=-2

Ответ: x₁=2; x₂=-2

Подписывайтесь на канал на YOUTUBE и смотрите видео, подготавливайтесь к экзаменам по математике и геометрии с нами.