Линейные неравенства называются так, потому что в основе лежит линейная функция или формула прямой (y=ax+b). Линейная функция характерна тем, что переменная x находится в числители и в первой степени.
Видео урок по теме «Линейные неравенства».
Вид линейного неравенства.
Классические линейные неравенства имеют вид:
ax+b>0
ax+b<0
ax+b≤0
ax+b≥0
Но линейные неравенства не всегда имеют такой вид, сначала очень часто неравенство необходимо упростить и только после этого мы можем оценить вид неравенства.
Чтобы решить неравенство его необходимо упростить.
По каким правилам упрощают неравенства?
ПРАВИЛО 1:
В неравенствах, как и в уравнениях мы имеем право переносить любую часть неравенства из одной стороны в другую при этом необходимо изменить знак на противоположный (плюс меняем на минус, минус меняем на плюс).
Например:
2x+5<3
По правилу, мы переносим неизвестные в одну сторону, а известные в другую. Неизвестное в нашем неравенстве это 2x, а известное число 5 и 3. Неизвестное мы оставим в левой части неравенства, а все известные перенесем в правую часть.
ЛЕВАЯ ЧАСТЬ<ПРАВАЯ ЧАСТЬ
Число +5 находится в левой части, при переносе через знак неравенства « < » плюс меняется на минус.
2x+5<3
2x<3-5
Чтобы решать дальше неравенство, необходимо применить следующее правило.
ПРАВИЛО 2:
Можно умножать и делить всё неравенство на положительное число, знак неравенства при этом не измениться.
Продолжим решение неравенства:
2x<3-5
2x<-2 |:2
Таким знаком «|» мы обозначаем, что всё неравенство и левая часть и правая часть будет поделена на число 2.
Почему мы делим именно на 2? На число 2 мы делим все неравенство, потому что нам необходимо получить в левой части x.
2x<-2 |:2
2x:2<-2:2
1x<-1
x<-1
Знак неравенства мы не изменили до деления на число 2 стоял знак меньше « < » и после деления на число 2 всего уравнения остался этот же знак неравенства « < ».
Не всегда коэффициент при переменной x положительное число, часто бывает также перед переменной x стоит отрицательное число. В таком случае надо применить следующее правило.
ПРАВИЛО 3:
Можно умножать и делить всё неравенство на отрицательное число, знак неравенства при этом измениться было < на > или ≤ на ≥ и на оборот.
Рассмотрим пример:
-2x<-2
Мы видим, что перед переменной x стоим коэффициент -2, нам необходимо получить в результате x, поэтому делим все неравенство на -2.
-2x<-2 |: (-2) -2x: (-2)>-2: (-2)
x>1
Как вы видите знак неравенства мы поменяли с < на >, потому что поделили всё неравенство на отрицательное число (-2).
Рассмотрим подробно примеры:
3x-1>8
Перенесем -1 с левой стороны в правую сторону неравенства, знак поменяем с минуса на плюс.
3x>8+1
3x>9
Поделим все неравенство на 3
3x>9 |: 3
3x:3>9:3
x>3
У неравенства в ответ записываю промежутки, в нашем случае переменная x больше 3.
По другому можно сказать от 3 до плюс бесконечности.
Ответ: x∈(3; +∞)
Правило оформления неравенств.
Сразу необходимо вспомнить и повторить правила оформления неравенств.
Если такие знаки у неравенства < или > то неравенство называется строгим. Скобки круглые и точка пустая.
<> ○ ()
Если такие знаки у неравенства ≤ или ≥ то неравенство называется нестрогим. Скобки квадратные и точка закрашенная.
≤ ≥ • []
Следующий пример:
5-4x≤17
Перед числом 5 не стоит никакого знака, когда нет знака, считаться что знак “+”. Переносим с левой стороны на правую знак меняем с + на -.
5-4x≤17
-4x≤17-5
-4x≤12
Перед переменной x стоит число -4, поэтому делим все уравнение на -4.
-4x≤12 |: (-4)
-4x: (-4)≤12: (-4)
После деления на отрицательное число знак неравенства поменялся с ≤ на ≥
x≥-3
Переменная x больше либо равна -3. В ответ запишем x∈[-3; +∞). У бесконечности скобки всегда круглые.
Ответ: x∈[-3; +∞)
Примеры (решение разобрано в видео уроке):
1) 10x≤0
2) -10x≤0
3) 3x +8≥-2x-12
4) 0,2x<3
5) 1/2 x<2/3 x+6 6) 6,5+12x>0,5
7) 3(x+1)-5<5(x-2)
8) 4x-2(2x-2) ≥x+2
9) 2⋅10x-5⋅3+ 1/4 ⋅12- 1/4 ⋅4x≥7
10) 1/3(3x-6)+(6x-12)≤1
