Произведение или умножение рациональных чисел вычисляется так же, как и обыкновенных дробей, разница лишь в знаках. В математике есть понятие умножение рациональных чисел и умножение дробей, правила и определения умножение в обоих случаях одинаковы.

Урок: умножение положительных рациональных чисел.

Правило умножения положительных рациональных чисел.
Чтобы выполнить умножение двух положительных рациональных чисел, нужно числитель умножить с числителем, а знаменатель умножить со знаменателем, итоговая дробь будет иметь положительный знак.

Формула умножения положительных рациональных чисел.

\(\bf \begin{align}\frac{a}{b} \times \frac{c}{d}=\frac{a \times c}{b \times d}\\\\ \end{align}\)

где \(\frac{a}{b}\) и \(\frac{c}{d}\) – рациональные положительные числа.

Пример:
Выполните умножение положительных рациональных чисел \(\frac{3}{4} \times \frac{1}{11}\).

Решение:
Нужно всегда считать знаки при умножении. У первой и второй дроби знак “+”, поэтому и итоговая дробь будет иметь положительный знак. “Плюс на плюс дает знак плюс”.

\(\begin{align}\frac{3}{4} \times \frac{1}{11}=\frac{3 \times 1}{4 \times 11}=\frac{3}{44}\\\\ \end{align}\)

Умножение отрицательных рациональных чисел.

Правило умножения отрицательных рациональных чисел.
Чтобы умножить два отрицательных рациональных числа, нужно взять модули чисел и числитель умножить с числителем, а знаменатель умножить со знаменателем, итоговая дробь будет со знаком “+”.

Формула умножения отрицательных рациональных чисел.

\(\begin{align}\frac{a}{b} \times \frac{c}{d}=\frac{a \times c}{b \times d}\\\\ \end{align}\)

где  \(\frac{a}{b}\) и \(\frac{c}{d}\) – рациональные отрицательные числа.

Пример:
Выполните умножение отрицательных рациональных чисел \(-\frac{4}{5} \times \left( -\frac{2}{3} \right)\)

Решение:
Знак итоговой дроби будет положительный. “Минус на минус дает знак плюс”.

\(\begin{align}-\frac{4}{5} \times \left( -\frac{2}{3} \right)=\frac{-4 \times (-2)}{5 \times 3}=\frac{8}{15}\\\\ \end{align}\)

Умножение рациональных чисел с разными знаками.

Правило умножения рациональных чисел с разными знаками.
Чтобы умножить два рациональных числа с разными знаками, нужно взять модули чисел и числитель умножить с числителем, а знаменатель умножить со знаменателем, итоговая дробь будет со знаком “-”.

Формула умножения рациональных чисел с разными знаками.

\(\begin{align}\frac{a}{b} \times \frac{c}{d}=\frac{a \times c}{b \times d}\\\\ \end{align}\)

где \(\frac{a}{b}\) – рациональное отрицательное число, а \(\frac{c}{d}\) – рациональное положительное число.

Или где \(\frac{a}{b}\) – рациональное положительное число, а  \(\frac{c}{d}\) – рациональное отрицательное число.

Пример:
Выполните умножение рациональных чисел с разными знаками: а) \(\frac{2}{17} \times \left( -\frac{6}{7} \right)\) б) \(-\frac{1}{3} \times \frac{4}{9}\)

Решение:
а) При умножение положительного числа на отрицательное, итоговый знак будет отрицательным. “Плюс на минус дает знак минус”.

\(\begin{align}\frac{2}{17} \times \left( -\frac{6}{7} \right)=\frac{2 \times (-6)}{17 \times 7}=\frac{-12}{119}=-\frac{12}{119}\\\\ \end{align}\)

б) При умножении отрицательного числа на положительное число, получаем отрицательное число. “Минус на плюс дает знак минус”.

\(\begin{align}-\frac{1}{3} \times \frac{4}{9}=\frac{-1 \times 4}{3 \times 9}=\frac{-4}{27}=-\frac{4}{27}\\\\ \end{align}\)

Умножение рациональных чисел на 0.

Правило умножения рационального числа на нуль.
При умножении рационального числа на нуль, получим в результате нуль.

Формула умножения рационального числа на нуль.

\(\begin{align}\frac{a}{b} \times 0=0\\\\ \end{align}\)

Пример:
Выполните произведение: а) \(\frac{102}{117} \times 0\) б) \(-\frac{1}{5} \times 0\)

Решение:
Приумножении на нуль любого числа (не важно отрицательного или положительного) всегда будет в результате нуль.

а) \(\frac{102}{117} \times 0 =  0\)
б) \(-\frac{1}{5} \times 0 = 0\)

Произведение рационального числа на целое число.

Определение:
Чтобы умножить целое число на рациональное число, нужно число умножить на числитель рационального числа, а знаменатель умножить на 1.

Формула умножения рационального числа на целое число.

\(\begin{align}\frac{a}{b} \times c=\frac{a}{b} \times \frac{c}{1}=\frac{a \times c}{b \times 1}\\\\ \end{align}\)

Пример:
Выполните произведение: а) \(-\frac{4}{47} \times 5\) б) \(\frac{17}{52} \times \left( -3 \right)\)

Решение:
а) Любое целое число  можно представить в виде дроби \(5=\frac{5}{1}\)

\(\begin{align}-\frac{4}{47} \times 5=-\frac{4}{47} \times \frac{5}{1}=-\frac{4 \times 5}{47 \times 1}=\frac{-20}{47}=-\frac{20}{47}\\\\ \end{align}\)

б) Число \(-3=\left( -\frac{3}{1} \right)\)  представим в виде дроби и выполним произведение дробей.

\(\begin{align}\frac{17}{52} \times \left( -3 \right)=\frac{17}{52} \times \left( -\frac{3}{1} \right)=\frac{17 \times (-3)}{52 \times 1}=\frac{-51}{52}=-\frac{51}{52}\\\\ \end{align}\)

Произведение взаимно обратных рациональных чисел.

Определение:
Произведение взаимно обратных чисел равно 1.

Формула умножения взаимно обратных чисел.

\(\begin{align}\frac{a}{b} \times \frac{b}{a}=1\\\\ \end{align}\)

Пример:
Выполните произведение: а) \(\frac{2}{3} \times \frac{3}{2}\) б) \(-\frac{3}{16} \times \left( -\frac{16}{3} \right)\)

Решение:
а) \(\frac{2}{3} \times \frac{3}{2}=\frac{3 \times 2}{2 \times 3}=\frac{6}{6}=1\)
б) \(-\frac{3}{16} \times \left( -\frac{16}{3} \right)=\frac{-3 \times (-16)}{16 \times 3}=\frac{48}{48}=1\)

Добавить комментарий