Произведение или умножение рациональных чисел вычисляется так же, как и обыкновенных дробей, разница лишь в знаках. В математике есть понятие умножение рациональных чисел и умножение дробей, правила и определения умножение в обоих случаях одинаковы.
Урок: умножение положительных рациональных чисел.
Правило умножения положительных рациональных чисел.
Чтобы выполнить умножение двух положительных рациональных чисел, нужно числитель умножить с числителем, а знаменатель умножить со знаменателем, итоговая дробь будет иметь положительный знак.
Формула умножения положительных рациональных чисел.
\(\bf \begin{align}\frac{a}{b} \times \frac{c}{d}=\frac{a \times c}{b \times d}\\\\ \end{align}\)где \(\frac{a}{b}\) и \(\frac{c}{d}\) – рациональные положительные числа.
Пример:
Выполните умножение положительных рациональных чисел \(\frac{3}{4} \times \frac{1}{11}\).
Решение:
Нужно всегда считать знаки при умножении. У первой и второй дроби знак “+”, поэтому и итоговая дробь будет иметь положительный знак. “Плюс на плюс дает знак плюс”.
Умножение отрицательных рациональных чисел.
Правило умножения отрицательных рациональных чисел.
Чтобы умножить два отрицательных рациональных числа, нужно взять модули чисел и числитель умножить с числителем, а знаменатель умножить со знаменателем, итоговая дробь будет со знаком “+”.
Формула умножения отрицательных рациональных чисел.
\(\begin{align}\frac{a}{b} \times \frac{c}{d}=\frac{a \times c}{b \times d}\\\\ \end{align}\)где \(\frac{a}{b}\) и \(\frac{c}{d}\) – рациональные отрицательные числа.
Пример:
Выполните умножение отрицательных рациональных чисел \(-\frac{4}{5} \times \left( -\frac{2}{3} \right)\)
Решение:
Знак итоговой дроби будет положительный. “Минус на минус дает знак плюс”.
Умножение рациональных чисел с разными знаками.
Правило умножения рациональных чисел с разными знаками.
Чтобы умножить два рациональных числа с разными знаками, нужно взять модули чисел и числитель умножить с числителем, а знаменатель умножить со знаменателем, итоговая дробь будет со знаком “-”.
Формула умножения рациональных чисел с разными знаками.
\(\begin{align}\frac{a}{b} \times \frac{c}{d}=\frac{a \times c}{b \times d}\\\\ \end{align}\)где \(\frac{a}{b}\) – рациональное отрицательное число, а \(\frac{c}{d}\) – рациональное положительное число.
Или где \(\frac{a}{b}\) – рациональное положительное число, а \(\frac{c}{d}\) – рациональное отрицательное число.
Пример:
Выполните умножение рациональных чисел с разными знаками: а) \(\frac{2}{17} \times \left( -\frac{6}{7} \right)\) б) \(-\frac{1}{3} \times \frac{4}{9}\)
Решение:
а) При умножение положительного числа на отрицательное, итоговый знак будет отрицательным. “Плюс на минус дает знак минус”.
б) При умножении отрицательного числа на положительное число, получаем отрицательное число. “Минус на плюс дает знак минус”.
\(\begin{align}-\frac{1}{3} \times \frac{4}{9}=\frac{-1 \times 4}{3 \times 9}=\frac{-4}{27}=-\frac{4}{27}\\\\ \end{align}\)Умножение рациональных чисел на 0.
Правило умножения рационального числа на нуль.
При умножении рационального числа на нуль, получим в результате нуль.
Формула умножения рационального числа на нуль.
\(\begin{align}\frac{a}{b} \times 0=0\\\\ \end{align}\)Пример:
Выполните произведение: а) \(\frac{102}{117} \times 0\) б) \(-\frac{1}{5} \times 0\)
Решение:
Приумножении на нуль любого числа (не важно отрицательного или положительного) всегда будет в результате нуль.
а) \(\frac{102}{117} \times 0 = 0\)
б) \(-\frac{1}{5} \times 0 = 0\)
Произведение рационального числа на целое число.
Определение:
Чтобы умножить целое число на рациональное число, нужно число умножить на числитель рационального числа, а знаменатель умножить на 1.
Формула умножения рационального числа на целое число.
\(\begin{align}\frac{a}{b} \times c=\frac{a}{b} \times \frac{c}{1}=\frac{a \times c}{b \times 1}\\\\ \end{align}\)Пример:
Выполните произведение: а) \(-\frac{4}{47} \times 5\) б) \(\frac{17}{52} \times \left( -3 \right)\)
Решение:
а) Любое целое число можно представить в виде дроби \(5=\frac{5}{1}\)
б) Число \(-3=\left( -\frac{3}{1} \right)\) представим в виде дроби и выполним произведение дробей.
\(\begin{align}\frac{17}{52} \times \left( -3 \right)=\frac{17}{52} \times \left( -\frac{3}{1} \right)=\frac{17 \times (-3)}{52 \times 1}=\frac{-51}{52}=-\frac{51}{52}\\\\ \end{align}\)Произведение взаимно обратных рациональных чисел.
Определение:
Произведение взаимно обратных чисел равно 1.
Формула умножения взаимно обратных чисел.
\(\begin{align}\frac{a}{b} \times \frac{b}{a}=1\\\\ \end{align}\)Пример:
Выполните произведение: а) \(\frac{2}{3} \times \frac{3}{2}\) б) \(-\frac{3}{16} \times \left( -\frac{16}{3} \right)\)
Решение:
а) \(\frac{2}{3} \times \frac{3}{2}=\frac{3 \times 2}{2 \times 3}=\frac{6}{6}=1\)
б) \(-\frac{3}{16} \times \left( -\frac{16}{3} \right)=\frac{-3 \times (-16)}{16 \times 3}=\frac{48}{48}=1\)
