Произведение вы уже проходили в теме умножения натуральных чисел. Отличия произведения натуральных от целых чисел в том, что появляются целые отрицательные числа. Сейчас этой теме мы рассмотрим тему умножение целых чисел подробнее.

Основные понятия, обозначение и смысл произведения целых чисел.

Вспомним, что такое умножение или произведение.
Числа, которые мы умножаем называются множителями, а результат умножения называется произведением.

Обозначается умножение символом таким:
a∙b=c  или a*b=c или a×b=c

Произведение в буквенном написании обозначается как a∙b или c.

Так же вспомним смысл произведения.
Произведение 2∙11=22 можно записать в виде суммы мы сложим 11 раз число 2, это будет выглядеть так:

умножение

Правило произведения целых чисел.

Определение:
Произведением двух целых чисел не равных нулю называют произведение их модулей и результат будет со знаком плюс, если эти числа одинаковых знаков, и со знаком минус, если они разных знаков.

Самое главное в произведении целых чисел это правильно посчитать знак ответа. Например, оба множителя могут быть положительными или оба отрицательными числами, или один множитель положительный, а другой отрицательный.

Нужно запомнить:

Плюс на плюс дает плюс.
“+ ∙ + = +”

Минус на минус дает плюс.
“– ∙ – =+”

Минус на плюс дает минус.
“– ∙ + = –”

Плюс на минус дает минус.
“+ ∙ – = –”

Каждый случай ниже разберем подробно.

Умножение или произведение положительных целых чисел.

В данном случае мы умножаем два числа положительных знаков, поэтому тут все просто “ плюс на плюс дает плюс”. Произведение положительных целых чисел дает в результате положительное целое число. Рассмотрим пример:

Для наглядности разберем умножение со знаками.
(+5)∙(+8)=(+40)
В умножении не принято писать знак “+”, поэтому его можно опустить. Если перед число не стоит ни какого знака, то считается то перед этим числом стоит знак “+”.
5∙8=40

Умножение отрицательных целых чисел.

Правило умножения двух целых отрицательных чисел:
При умножении двух отрицательных целых чисел, будет равно произведению модулей этих чисел.

|-a|=a и |-b|=b
-a∙(-b)=a∙b

Или другими словами “минус на минус дает плюс”. При произведении двух отрицательных чисел, ответ будет равен положительному целому числу.

Пример:
Вычислите произведение целых чисел -12∙(-3).

Решение:
Два минуса при умножении дают в результате плюс. В ответе число будет с плюсом.
-12∙(-3)=36

Ответ: 36

Произведение целых чисел с разными знаками.

Не важен порядок множителей положительное число умножаем на отрицательное или отрицательное число умножаем на положительное, в результате всегда будет отрицательное целое число.

Правило умножения двух целых чисел с разными знаками:
При умножении двух целых чисел с разными знаками, их произведение будет равно целому отрицательному числу.

Если упростить определение то, обычно говорят:
“Минус на плюс дает минус”.
“Плюс на минус дает минус”.

Разберем пример:
Вычислить произведение целых чисел.
-4∙6=-24

А теперь докажем правильность этого решения.
-4+(-4)+(-4)+(-4)+(-4)+(-4)=-4∙6=-24
Шесть раз сложили число (-4).

Такой же ответ будет, если поменять местами числа.
6∙(-4)=-24

Пример:
-34∙2=-68

Умножение целого числа на нуль.

Правило умножения целых чисел на нуль.
Если любое целое число умножить на нуль, ответ будет равен нулю.
a∙0=0  или 0∙a=0

Пример:
Найдите произведение целого положительного числа 209 на нуль.

Решение:
209∙0=0

Пример:
Найдите произведение целого отрицательного числа (-39) на нуль.

Решение:
0∙(-39)=0

Умножение целого числа на 1.

Правило умножения целого числа на единицу:
Произведение целого числа a и 1 равно a.
a∙1=a или 1∙a=a

Пример:
Вычислить произведение положительного целого числа 49 и единицы.

Решение:
49∙1=49

Пример:
Вычислить произведение отрицательного целого числа (-35 860) и единицы.

Решение:
1∙(-35 860)=-35 860

Пример:
Найдите произведение нуля и единицы.

Решение:
0∙1=0

Проверка результата умножения целых чисел.

Не всегда мы выполняем умножение простых чисел, бывают число объемные и сложные, поэтому нужно уметь проверять правильность выполненного умножения.
Как проверить результат умножения?

Умножение проверяется делением. Мы делим произведение на один из множителей.

Например:
Выполните умножение и сделайте проверку.
5∙12=60

5 – множитель;
12 – множитель;
60 – произведение.

Проверка:
60:12=5  или  60:5=12

Умножение или произведение нескольких целых чисел.

Чтобы посчитать произведение нескольких целых чисел, нужно умножать числа по парно или последовательно, например:
(-3) ∙5∙(-11) ∙(-9) ∙1=((-3) ∙5)((-11) ∙(-9)) ∙1=((-15) ∙99) ∙1=(-1485) ∙1=-1485

Сначала сгруппировали по два числа ((-3) ∙5) и ((-11) ∙(-9)), потом ((-15) ∙99) и нашли ответ.

При перемножении целых чисел, результат всегда будет целым числом.

Вопросы по теме:
Как влияет при умножении на целое число (-1)?
Ответ: так как (-1) отрицательное число, при умножении на целое число происходит смена знака числа.
Пример: (-1) ∙3=-3 . Число 3 было со знаком “+”, а стало со знаком “–”.
Еще пример: (-1) ∙(-5)=5 . Число (-5) было со знаком “–”, а стало со знаком “+”.

Пример №1:
Найти произведение двух целых чисел: а) (-2) ∙235 б) (-34) ∙(-17) в) 1∙(-12) г) 0∙4983

Решение:
а) (-2) ∙235=-470
б) (-34) ∙(-17)=578
в) 1∙(-12)=-12
г) 0∙4983=0

Пример №2:
Чему равно произведение последовательных целых чисел, начинающихся числом -100 и оканчивающихся числом 100?

Решение:
Между числами -100 и 100 находится нуль, а любое число, умноженное на 0 равно 0. Поэтому произведение последовательных целых чисел от -100 до 100 равно 0.
Ответ: 0.

Пример №3:
Чему равно произведение всех целых чисел?

Решение:
Целые числа состоят из целых положительных и отрицательных чисел, а также нуля. При умножении любого числа на нуль будет 0. Поэтому произведение всех целых чисел равно 0.
Ответ: 0.

Добавить комментарий