Сложение рациональных чисел происходит по правилам сложения дробей. В этой теме рассмотрим подробно как складывать положительные и отрицательные рациональные числа, а также рациональные числа с одинаковыми и разными знаменателями.

Тема. Сложение рациональных чисел с одинаковыми знаменателями.

Определение:
Сумма дробей с одинаковыми положительными знаменателями, есть дробь с тем же знаменателем и суммой их числителей.

Правила сложения рациональных чисел.

  1. Если у дробей одинаковый знаменатель, записываем его в знаменатель итоговой дроби.
  2. Числители складываем по правилам сложения и результат записываем в числитель итоговой дроби.
  3. Если требуется итоговую дробь сокращаем и преобразовываем.

Пример:
Выполните сложение рациональных чисел с одинаковыми знаменателями: а) \(\frac{-3}{4}+\frac{1}{4}\) б) \(\frac{-6}{13}+\frac{-2}{13}\) в) \(\frac{17}{47}+\frac{12}{47}\) г) \(\frac{32}{15}+\frac{-12}{15}\)

Решение:
а) Так как знаменатели у дробей одинаковые, записываем знаменатель тот же. Числители складываем по правилу сложения целых чисел. Итоговую дробь \(\frac{-2}{4}\) сокращаем на 2.

\(\begin{align}\frac{-3}{4}+\frac{1}{4}=\frac{-3+1}{4}=\frac{-2}{4}=-\frac{2}{4}=-\frac{1}{2}\\\\ \end{align}\)

б) \(\begin{align}\frac{-6}{13}+\frac{-2}{13}=\frac{-6+(-2)}{13}=\frac{-8}{13}=-\frac{8}{13}\\\\ \end{align}\)

в) \(\begin{align}\frac{17}{47}+\frac{12}{47}=\frac{17+12}{47}=\frac{29}{47}\\\\ \end{align}\)

г) \(\begin{align}\frac{32}{15}+\frac{-12}{15}=\frac{32+(-12)}{15}=\frac{20}{15}=\frac{4 \times 5}{3 \times 5}=\frac{4}{3}=1\frac{1}{3}\\\\ \end{align}\)

Урок. Сложение рациональных чисел с разными знаменателями.

Определение:
Чтобы сложить две дроби с разными знаменателями необходимо сначала найти общий знаменатель, а потом сложить их числители.

Формула сложение рациональных чисел с разными знаменателями:

\(\begin{align}
&\bf \frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{a \times d + c \times b}{b \times d} \\\\
\end{align}\)

Алгоритм действия при сложении рациональных чисел с разными знаменателями.

  1. Найти общий знаменатель. (Как находить общий знаменатель можете узнать, нажав на ссылку)
  2. Найти сумму дробей по правилам сложения рациональных чисел с одинаковыми знаменателями.

Пример:
Выполните сложение рациональных чисел с разными знаменателями: а) \(\frac{-4}{7}+\frac{5}{8}\) б) \(\frac{-3}{11}+\frac{-7}{22}\) в) \(\frac{11}{15}+\frac{9}{25}\) г) \(\frac{8}{3}+\frac{-1}{13}\)

Решение:
а) Дроби \(\frac{-4}{7}+\frac{5}{8}\) имеют разные знаменатели, поэтому нужно найти общий знаменатель. Общий знаменатель будет равен 56, поэтому первую дробь \(\frac{-4}{7}\) умножаем на 8, а вторую дробь \(\frac{5}{8}\) на 7

\(\begin{align}\frac{-4}{7}+\frac{5}{8}=\frac{-4 \times 8 + 5 \times 7}{7 \times 8}=\frac{-32+35}{56}=\frac{3}{56}\\\\
\end{align}\)

б) Так как у дробей разные знаменатели, находим общий знаменатель. Общий знаменатель равен 22.

\(\begin{align}\frac{-3}{11}+\frac{-7}{22}=\frac{-3 \times 2 + (-7)}{11 \times 2}=\frac{-6 + (-7)}{22}=\frac{-13}{22}=-\frac{13}{22}\\\\
\end{align}\)

в) У дробей \(\frac{11}{15}\) и \(\frac{9}{25}\) разные знаменатели. Находим общий знаменатель, он равен 75. Первую дробь умножаем на 5, а вторую дробь умножаем на 3.

\(\begin{align}\frac{11}{15}+\frac{9}{25}=\frac{11 \times 5}{15 \times 5} + \frac{9 \times 3}{25 \times 3}=\frac{55}{75}+\frac{27}{75}=\frac{55+27}{75}=\frac{82}{75}=1\frac{7}{75}\\\\
\end{align}\)

г) Общий знаменатель этих дробей \(\frac{8}{3}\) и \(\frac{-1}{13}\) равен 39.

\(\begin{align}\frac{8}{3}+\frac{-1}{13}=\frac{8 \times 13 + (-1) \times 3}{3 \times 13}=\frac{104+(-3)}{39}=\frac{101}{39}=2\frac{23}{39}\\\\
\end{align}\)

Сложение противоположных рациональных чисел.

Правило сложения противоположных рациональных чисел.
Результатом сложения противоположных рациональных чисел будет нуль.

Пример:
Выполните сложение дробей \(\frac{-5}{18}+\frac{5}{18}\)  .

Решение:

\(\begin{align}\frac{-5}{18}+\frac{5}{18}=\frac{-5+5}{18}=\frac{0}{18}=0\\\\
\end{align}\)

Сложение положительных рациональных чисел.

Сложение положительных рациональных чисел сводится к сложение обыкновенных дробей. Может быть два варианта:

  1. Если у положительных рациональных чисел разные знаменатели, то ищем общий знаменатель.
  2. Если у положительных рациональных чисел одинаковые знаменатели, то переходим к сложению числителей, а знаменатель переписываем.

Примеры:
Выполните сложение положительных рациональных дробей: а) \(\frac{4}{15}+\frac{7}{15}\) б) \(\frac{3}{8}+\frac{5}{12}\).

Решение:
а) \(\begin{align}\frac{4}{15}+\frac{7}{15}=\frac{4+7}{15}=\frac{11}{15}\\\\
\end{align}\)

б) У дробей разные знаменатели нужно найти общий знаменатель. Общий знаменатель равен 24.

\(\begin{align}\frac{3}{8}+\frac{5}{12}=\frac{3 \times 3}{8 \times 3}+\frac{5 \times 2}{12 \times 2}=\frac{9}{24}+\frac{10}{24}=\frac{9+10}{24}=\frac{19}{24}\\\\
\end{align}\)

Сложение отрицательных рациональных чисел.

Складываем отрицательные рациональные числа по этим правилам:

  1. Если знаменатели разные, то приводим к общему знаменателю.
  2. Если знаменатели одинаковые складываем числители по правилу сложения отрицательных целых чисел.

Пример:
Сложите отрицательные рациональные числа: а) \(-\frac{13}{19}+(-\frac{1}{19})\)  б) \(-\frac{1}{49}+(-\frac{5}{14})\).

Решение:
а) \(\begin{align}-\frac{13}{19}+(-\frac{1}{19})=\frac{-13+(-1)}{19}=\frac{-14}{19}=-\frac{14}{19}\\\\
\end{align}\)

б) Для начала найдем общий знаменатель. Общий знаменатель у дробей равен 98.

\(\begin{align}-\frac{1}{49}+(-\frac{5}{14})=-\frac{1 \times 2}{49 \times 2}+(-\frac{5 \times 7}{14 \times 7})=-\frac{2}{98}+(-\frac{35}{98})=-\frac{-2+(-35)}{98}=\frac{-37}{98}=-\frac{37}{98}\\\\
\end{align}\)

Сложение рациональных чисел с разными знаками, примеры.

Правило:

  1. Если у дробей разные знаменатели, нужно привести их к общему знаменателю.
  2. Если у дробей одинаковые знаменатели, нужно в итоговую дробь переписать знаменатель, а числители сложить по правилам сложения целых чисел с разными знаками.

Пример:
Выполните сложение рациональных чисел с разными знаками: а) \(-\frac{2}{5}+\frac{1}{5}\) б) \(\frac{1}{27}+(-\frac{5}{9})\)

Решение:
а) У дробей общий знаменатель, переходим к сложению числителей. Определим какой знак будет в результате. Для этого посмотри модуль какого числа больше |-2|=2 и |1|=1. Получаем 2>1, то есть модуль отрицательного числа больше модуля положительного, поэтому в ответе будет стоять знак минус. Если сказать проще, у нас два минуса и один плюс. Минусов больше поэтому в результате поставим знак минус.

\(\begin{align}-\frac{2}{5}+\frac{1}{5}=\frac{-2+1}{5}=\frac{-1}{5}=-\frac{1}{5}\\\\
\end{align}\)

б) Сначала приведем к общему знаменателю, он равен 27, а потом сложим числители. Определим знак ответа. Найдем модули чисел |-15|=15 и |1|=1. Модуль отрицательного числа больше положительного 15>1, поэтому в ответе будет знак минус.

\(\begin{align}\frac{1}{27}+(-\frac{5}{9})=\frac{1}{27}+(-\frac{5 \times 3}{9 \times 3})=\frac{1}{27}+(-\frac{15}{27})=\frac{1+(-15)}{27}=-\frac{14}{27}\\\\
\end{align}\)

 

Добавить комментарий