Биквадратное уравнение. Алгоритм решения и примеры.

Биквадратные уравнения относятся к разделу школьной алгебры. Метод решения таких уравнений довольно простой, нужно использовать замену переменной.
Рассмотрим алгоритм решения:
-Что такое биквадратное уравнение?
-Как решить биквадратное уравнение?
-Метод замены переменной.
-Примеры биквадратного уравнения.
-Нахождение корней биквадратного уравнения.

Формула биквадратного уравнения:
ax4+bx2+c=0, где a≠0

Решение биквадратных уравнений сводится сначала к замене, а потом решению квадратного уравнения:
\(x^{2}=t,\;t\geq0\)
t должно быть положительным числом или равным нулю

Получаем квадратное уравнение и решаем его:
at2+bt+c=0,
где x и t — переменная,
a, b, c -числовые коэффициенты.

Пример №1:
\(x^{4}-5x^{2}+6=0\)

Делаем замену,
\(x^{2}=t,\;t\geq0\)

\(t^{2}-5t+6=0\)
Получилось полное квадратное уравнение, решаем его через дискриминант:
\(D=b^{2}-4ac=(-5)^{2}-4\times1\times6=25-24=1\)
Дискриминант больше нуля, следовательно, два корня, найдем их:

\(\begin{align}
&t_{1}=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{-(-5)+\sqrt{1}}{2\times1}=\frac{5+1}{2}=\frac{6}{2}=3\\\\
&t_{2}=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{-(-5)-\sqrt{1}}{2\times1}=\frac{5-1}{2}=\frac{4}{2}=2\\\\
\end{align}\)

Возвращаемся в замену, подставим вместо переменной t полученные числа: \(x^{2}=3\)
Чтобы решить такого вида уравнение, необходимо обе части уравнения занести под квадратный корень.

\(\begin{align}
&x_{1}=\sqrt{3}\\
&x_{2}=-\sqrt{3}\\\\\\
&x^{2}=2\\
&x_{3}=\sqrt{2}\\
&x_{4}=-\sqrt{2}\\
\end{align}\)

Ответ: \(x_{1}=\sqrt{3},\;x_{2}=-\sqrt{3},\;x_{3}=\sqrt{2},\;x_{4}=-\sqrt{2}\)

Пример №2:
Решить биквадратное уравнение.
\(x^{4}-4x^{2}+4=0\)

Делаем замену,
\(x^{2}=t,\;t\geq0\)

\(t^{2}-4t+4=0\)

Получилось полное квадратное уравнение, решаем через дискриминант:
\(D=b^{2}-4ac=(-4)^{2}-4\times1\times4=16-16=0\)
Дискриминант равен нулю, следовательно, один корень, найдем его:
\(t=\frac{-b}{2a}=\frac{-(-4)}{2\times1}=2\)

Возвращаемся в замену, подставим вместо переменной t полученное число:

\(\begin{align}
&x^{2}=2\\
&x_{1}=\sqrt{2}\\
&x_{2}=-\sqrt{2}\\
\end{align}\)

Ответ: \(x_{1}=\sqrt{2},\;x_{2}=-\sqrt{2}\)

Можно не во всех случаях делать замену. Рассмотрим пример.

Пример №3:
Решить биквадратное уравнение.

\(-4x^{4}+16x^{2}=0\)

Выносим переменную x2 за скобку,

\(x^{2}(-4x^{2}+16)=0\)

Приравниваем каждый множитель к нулю

\(\begin{align}
&x^{2}=0\\
&x_{1}=0\\\\
&-4x^{2}+16=0\\
&-4x^{2}=-16
\end{align}\)

Делим всё уравнение на -4:
Чтобы решить \(x^{2}=4\) такое уравнение, необходимо, обе части уравнения занести под квадратный корень.
\(\begin{align}
&x^{2}=4\\
&x_{2}=2\\
&x_{3}=-2\\
\end{align}\)

Ответ: \(x_{1}=0,\;x_{2}=2,\;x_{2}=-2\)

Пример №4:
Решите биквадратное уравнение.
\(x^{4}-16=0\)

Делаем замену,
\(x^{2}=t,\;t\geq0\)

Получилось неполное квадратное уравнение решаем его.
\(\begin{align}
&t^{2}-16=0\\
&t^{2}=16\\
&t_{1}=4
\end{align}\)
\(t_{2}=-4\) не подходит условию \(t\geq0\)

Возвращаемся в замену, подставим вместо переменной t полученное число:
\(\begin{align}
&x^{2}=4\\
&x_{1}=2\\
&x_{2}=-2
\end{align}\)

Ответ: \(x_{1}=2,\;x_{2}=-2\)

Пример №5:
\(x^{4}+10=0\)

Делаем замену,
\(x^{2}=t,\;t\geq0\)

Получилось неполное квадратное уравнение решаем его.
\(t^{2}+10=0\)
\(t^{2}=-10\), не подходит условию \(t\geq0\)

Ответ: решения нет.

Подписывайтесь на канал на YOUTUBE и смотрите видео, подготавливайтесь к экзаменам по математике и геометрии с нами.

Добавить комментарий