Чтобы выполнить сравнение рациональных чисел или сравнение дробей, необходимо знать простые правила. Как сравнивать рациональные числа? Рассмотрим подробнее.

Сравнение рациональных чисел с одинаковыми знаменателями.

Если у рациональных чисел одинаковый положительный знаменатель, то переходим к сравнению числителей.

  1. Если положительные числители у дроби, то та дробь больше у которой числитель больше.
  2. Если отрицательные числители у дроби, то та дробь больше у которой числитель по модулю меньше.
  3. Если у числителей разные знаки, то та дробь больше у которой положительный знак.

Рассмотрим пример:
Сравните рациональные числа: а) \(\frac{3}{20}\) и \(\frac{7}{20}\)  б) \(\frac{-5}{13}\) и \(\frac{-7}{13}\) в) \(\frac{4}{7}\) и \(\frac{-5}{7}\)

Решение:
а) Знаменатели одинаковые, переходим к сравнению числителей. У первого числителя число 3 у второго 7.

7>3

\(\frac{3}{20} < \frac{7}{20}\)

б) При одинаковых знаменателях сравниваем числители.
|-7|=7
|-5|=5

7>5 у отрицательных чисел наоборот правее, а значит больше -7<-5

\(\frac{-5}{13} > \frac{-7}{13}\)

в) С дробями у которых разные знаки все просто, всегда больше положительная дробь

\(\frac{4}{7} > \frac{-5}{7}\)

Сравнение рациональных чисел с нулем.

Правила сравнения рациональных чисел с нулем.

  1. Если рациональное число положительно, то оно всегда будет больше нуля.
  2. Если рациональное число отрицательно, то оно всегда меньше нуля.

Рассмотрим пример:
Сравните с нулем рациональные числа: а) 0 и \(\frac{-1}{33}\)  б) \(\frac{3}{4}\) и 0

Решение:
а) Дробь \(\frac{-1}{33}\) отрицательна, поэтому нуль будет больше рационального числа.

\(0 > \frac{-1}{33}\)

б) Дробь положительна \(\frac{3}{4}\), поэтому нуль будет меньше рационального числа.

\(\frac{3}{4} > 0\)

Сравнение рациональных чисел с одинаковыми числителями и разными знаменателями.

Правило сравнение рациональных чисел с одинаковыми числителями:

Если у рациональных чисел одинаковые положительные числители и разные положительные знаменатели, та дробь больше у которой знаменатель меньше.

Разберем пример:
Сравните рациональные числа с одинаковыми числителями \(\frac{1}{4}\) и \(\frac{1}{16}\).

Решение:
Рассмотрим рисунок.

Сравнение рациональных чисел с одинаковыми числителями

Видно, что взятая одна часть из четырех больше по размеру, чем взятая одна часть из 16. Поэтому, \(\frac{1}{4} > \frac{1}{16}\)

Если у дробей одинаковые отрицательные числители и разные положительные знаменатели, то та дробь больше у которой знаменатель больше.

Рассмотрим тот же пример:
Сравните дроби с одинаковыми отрицательными числителями \(\frac{-1}{4}\) и \(\frac{-1}{16}\).

Решение:
Из выше решенной задачи на рисунке мы видели, что 1 часть из 16 по размеру меньше, а значит и числовое значение имеет меньше, чем 1 часть из 4. Но в отрицательных числах меньшее отрицательное число на числовой прямой лежит ближе, то есть левее к нулю чем большее число.

сравнение рациональных чисел с одинаковыми отрицательными числителями

Поэтому, \(\frac{-1}{4} < \frac{-1}{16}\)

Сравнение рациональных чисел с разными знаменателями.

Для начала ознакомимся с алгоритмом сравнения рациональных чисел:

  1. Нужно привести дроби к общему положительному знаменателю.
  2. Потом сравнить числители дробей по правилам сравнения дробей с одинаковыми знаменателями.

Рассмотрим пример:
Выполните сравнение рациональных чисел с разными знаменателями: а) \(\frac{3}{7}\) и \(\frac{2}{9}\) б) \(\frac{-5}{6}\) и \(\frac{-2}{3}\) в) \(\frac{1}{2}\) и \(\frac{-7}{10}\)

Решение:
а) Чтобы сравнить дроби \(\frac{3}{7}\) и \(\frac{2}{9}\) приведем их к общему знаменателю. Общим знаменателем будет число 63.

\(\begin{align}
&\frac{3}{7}=\frac{3 \times 9}{7 \times 9}=\frac{27}{63} \\\\
&\frac{2}{9}=\frac{2 \times 7}{9 \times 7}=\frac{14}{63} \\\\
\end{align}\)

Получили две дроби с одинаковыми знаменателями, теперь сравниваем их числители 27>14.

\(\begin{align}
&\frac{27}{63} > \frac{14}{63} \\\\
&\frac{3}{7} > \frac{2}{9} \\\\
\end{align}\)

б) Найдем общий знаменатель дробей \(\frac{-5}{6}\) и \(\frac{-2}{3}\), чтобы сравнить их. Общий знаменатель равен 6.

\(\frac{-2}{3}=\frac{-2 \times 2}{3 \times 2}=\frac{-4}{6}\)

У отрицательных числителей больше то число, которое по модулю меньше.
|-5|=5
|-4|=4 это число меньше по модулю, поэтому -5<-4

\(\begin{align}
&\frac{-5}{6} > \frac{-4}{6} \\\\
&\frac{-5}{6} > \frac{-2}{3} \\\\
\end{align}\)

в) Эти дроби \(\frac{1}{2}\) и \(\frac{-7}{10}\) можно не приводить к общему знаменателю, потому что у них разные знаки. Дробь с положительным знаком всегда больше дроби с отрицательным знаком.

\(\begin{align}\frac{1}{2} > \frac{-7}{10}\end{align}\)

Одинаковые рациональные числа.

Рациональные числа равны тогда, когда при одинаковых знаменателях равны их числители. Например:

\(\begin{align}\frac{1}{5} = \frac{1}{5}\end{align}\)

Добавить комментарий