Чтобы выполнить сравнение рациональных чисел или сравнение дробей, необходимо знать простые правила. Как сравнивать рациональные числа? Рассмотрим подробнее.
Сравнение рациональных чисел с одинаковыми знаменателями.
Если у рациональных чисел одинаковый положительный знаменатель, то переходим к сравнению числителей.
- Если положительные числители у дроби, то та дробь больше у которой числитель больше.
- Если отрицательные числители у дроби, то та дробь больше у которой числитель по модулю меньше.
- Если у числителей разные знаки, то та дробь больше у которой положительный знак.
Рассмотрим пример:
Сравните рациональные числа: а) \(\frac{3}{20}\) и \(\frac{7}{20}\) б) \(\frac{-5}{13}\) и \(\frac{-7}{13}\) в) \(\frac{4}{7}\) и \(\frac{-5}{7}\)
Решение:
а) Знаменатели одинаковые, переходим к сравнению числителей. У первого числителя число 3 у второго 7.
7>3
\(\frac{3}{20} < \frac{7}{20}\)б) При одинаковых знаменателях сравниваем числители.
|-7|=7
|-5|=5
7>5 у отрицательных чисел наоборот правее, а значит больше -7<-5
\(\frac{-5}{13} > \frac{-7}{13}\)в) С дробями у которых разные знаки все просто, всегда больше положительная дробь
\(\frac{4}{7} > \frac{-5}{7}\)Сравнение рациональных чисел с нулем.
Правила сравнения рациональных чисел с нулем.
- Если рациональное число положительно, то оно всегда будет больше нуля.
- Если рациональное число отрицательно, то оно всегда меньше нуля.
Рассмотрим пример:
Сравните с нулем рациональные числа: а) 0 и \(\frac{-1}{33}\) б) \(\frac{3}{4}\) и 0
Решение:
а) Дробь \(\frac{-1}{33}\) отрицательна, поэтому нуль будет больше рационального числа.
б) Дробь положительна \(\frac{3}{4}\), поэтому нуль будет меньше рационального числа.
\(\frac{3}{4} > 0\)Сравнение рациональных чисел с одинаковыми числителями и разными знаменателями.
Правило сравнение рациональных чисел с одинаковыми числителями:
Если у рациональных чисел одинаковые положительные числители и разные положительные знаменатели, та дробь больше у которой знаменатель меньше.
Разберем пример:
Сравните рациональные числа с одинаковыми числителями \(\frac{1}{4}\) и \(\frac{1}{16}\).
Решение:
Рассмотрим рисунок.
Видно, что взятая одна часть из четырех больше по размеру, чем взятая одна часть из 16. Поэтому, \(\frac{1}{4} > \frac{1}{16}\)
Если у дробей одинаковые отрицательные числители и разные положительные знаменатели, то та дробь больше у которой знаменатель больше.
Рассмотрим тот же пример:
Сравните дроби с одинаковыми отрицательными числителями \(\frac{-1}{4}\) и \(\frac{-1}{16}\).
Решение:
Из выше решенной задачи на рисунке мы видели, что 1 часть из 16 по размеру меньше, а значит и числовое значение имеет меньше, чем 1 часть из 4. Но в отрицательных числах меньшее отрицательное число на числовой прямой лежит ближе, то есть левее к нулю чем большее число.
Поэтому, \(\frac{-1}{4} < \frac{-1}{16}\)
Сравнение рациональных чисел с разными знаменателями.
Для начала ознакомимся с алгоритмом сравнения рациональных чисел:
- Нужно привести дроби к общему положительному знаменателю.
- Потом сравнить числители дробей по правилам сравнения дробей с одинаковыми знаменателями.
Рассмотрим пример:
Выполните сравнение рациональных чисел с разными знаменателями: а) \(\frac{3}{7}\) и \(\frac{2}{9}\) б) \(\frac{-5}{6}\) и \(\frac{-2}{3}\) в) \(\frac{1}{2}\) и \(\frac{-7}{10}\)
Решение:
а) Чтобы сравнить дроби \(\frac{3}{7}\) и \(\frac{2}{9}\) приведем их к общему знаменателю. Общим знаменателем будет число 63.
&\frac{3}{7}=\frac{3 \times 9}{7 \times 9}=\frac{27}{63} \\\\
&\frac{2}{9}=\frac{2 \times 7}{9 \times 7}=\frac{14}{63} \\\\
\end{align}\)
Получили две дроби с одинаковыми знаменателями, теперь сравниваем их числители 27>14.
\(\begin{align}&\frac{27}{63} > \frac{14}{63} \\\\
&\frac{3}{7} > \frac{2}{9} \\\\
\end{align}\)
б) Найдем общий знаменатель дробей \(\frac{-5}{6}\) и \(\frac{-2}{3}\), чтобы сравнить их. Общий знаменатель равен 6.
\(\frac{-2}{3}=\frac{-2 \times 2}{3 \times 2}=\frac{-4}{6}\)У отрицательных числителей больше то число, которое по модулю меньше.
|-5|=5
|-4|=4 это число меньше по модулю, поэтому -5<-4
&\frac{-5}{6} > \frac{-4}{6} \\\\
&\frac{-5}{6} > \frac{-2}{3} \\\\
\end{align}\)
в) Эти дроби \(\frac{1}{2}\) и \(\frac{-7}{10}\) можно не приводить к общему знаменателю, потому что у них разные знаки. Дробь с положительным знаком всегда больше дроби с отрицательным знаком.
\(\begin{align}\frac{1}{2} > \frac{-7}{10}\end{align}\)
Одинаковые рациональные числа.
Рациональные числа равны тогда, когда при одинаковых знаменателях равны их числители. Например:
