Основное свойство рациональных чисел достаточное простое для понятия. Пользоваться основным свойством дроби вы будите постоянно во всех классах и темах математики, поэтому важно его сейчас разобрать и понять.

Основное свойство дроби, приведение к общему знаменателю.

Определение:
Если числитель и знаменатель умножить на одно и тоже число, которое не равно нулю, то получится равная ей дробь.

Запишем формулу основного свойства рациональных чисел:

\(\bf \begin{align}\frac{p}{q}=\frac{p \times n}{q \times n}\end{align}\)

Где  p,q и n –целые числа (\(q \neq 0, n \neq 0\)).

По этой формуле приводят к общему знаменателю дроби. Умножаем на одно и тоже число числитель и знаменатель дроби.

Рассмотрим дробь, пример:

\(\begin{align}
&\frac{1}{2}=\frac{1 \times 4}{2 \times 4}=\frac{4}{8} \\\\
&\frac{1}{2}=\frac{4}{8} \\\\
\end{align}\)

Разберем данные дроби на рисунке.

Основное свойство дроби. общий знаменатель

Видим, если мы круг раздели на две равные части и закрасим 1 часть из 2, то закрашенная часть круга будет равна 4 равным частям из 8.

В чем заключается смысл основного свойства, мы разобрали на примере. А теперь запишем краткие правила основного свойства дроби общего знаменателя:

  1. Числитель и знаменатель дроби умножаем на число отличное от нуля.
  2. Проверяем равны ли исходная дробь с полученной.

Основное свойство дроби, сокращение дробей.

Определение:
Если у дроби числитель и знаменатель делим на общий множитель, не равный нулю, то получиться равная ей дробь.

Запишем формулу основного свойства дроби.

\(\bf \begin{align}\frac{p \times n}{q \times n}=\frac{p}{q}\end{align}\)

Где  p,q и n –целые числа (\(q \neq 0, n \neq 0\)).

Такой вид формулы основного свойства дроби называется сокращением дробей. Мы имеем право сократить числитель и знаменатель на общий множитель.

Рассмотрим ту же самую дробь, но в обратном порядке.

\(\begin{align}
&\frac{4}{8}=\frac{1 \times 4}{2 \times 4}=\frac{1}{2} \\\\
&\frac{4}{8}=\frac{1}{2} \\\\
\end{align}\)

На рисунке запись дробей будет выглядеть так:

основное свойство рациональных чисел

Основное свойство рациональных чисел сокращения дроби состоит из простых правил:

  1. Расписать числитель и знаменатель дроби на простые множители, найти среди них общий для числителя и знаменателя.
  2. Сократить числитель и знаменатель дроби на общий множитель.
  3. Проверяем равны ли исходная дробь с полученной.

Пример:
Пользуясь основным свойством дроби, найдите значение a, при котором верно равенство: а) \(\frac{a}{6}=\frac{8}{48}\) б) \(\frac{56}{70}=\frac{8}{a}\)

Решение:
а) \(\frac{a}{6}=\frac{8}{48}\)

Если мы внимательно посмотрим, то заметим, что знаменатель с числа 6 поменялся на число 48. Возникает вопрос: На какие число надо умножить 6, чтобы получить число 48? Ответ на 8, то есть первую дробь \(\frac{a}{6}\) числитель и знаменатель умножили на 8 и получили вторую дробь \(\frac{8}{48}\). Выглядит это так:

\(\begin{align}\frac{a}{6}=\frac{a \times 8}{6 \times 8}=\frac{8}{48}\end{align}\)

Тогда возникает вопрос: Какое число скрывается под переменной а, при умножении на которую получаем 8. Не трудно догадаться, переменная a=1. Подставим и проверим:

\(\begin{align}\frac{1}{6}=\frac{1 \times 8}{6 \times 8}=\frac{8}{48}\end{align}\)

А теперь рассмотрим, как решить пропорцию математически, ведь не всегда в выражении будут легкие числа.

\(\begin{align}
&\frac{a}{6}=\frac{8}{48} \\\\
&a=\frac{8 \times 6}{48} \\\\
&a=\frac{48}{48} \\\\
&a=1 \\\\
\end{align}\)

Ответ: 1

б) \(\frac{56}{70}=\frac{8}{a}\)

Смотрим внимательно, видим, что в числители было число 56, а потом стало число 8. На какое число надо поделить 56, чтобы получить 8? Ответ на 7.

\(\frac{56}{70}=\frac{8 \times 7}{10 \times 7}=\frac{8}{10}=\frac{8}{a}\)

Видим, что a=10. Теперь решим выражение \(\frac{56}{70}=\frac{8}{a}\) как пропорцию.

\(\begin{align}
&\frac{56}{70}=\frac{8}{a} \\\\
&a \times 56=8 \times 70 \\\\
&a=\frac{8 \times 70}{56} \\\\
&a=\frac{560}{56} \\\\
&a=10
\end{align}\)

Ответ: 10

Добавить комментарий