Так для чего нужен общий знаменатель, или когда нужен общий знаменатель?
Ответ довольно прост, мы имеем право дроби складывать и вычитать только когда у данных дробей есть общий знаменатель. Поэтому важно понять, как находить общий знаменатель.

Определение:
Общий знаменатель – это число всегда положительное на которое делятся знаменатели данных дробей.

Формула основного свойства рациональных чисел.

Основное свойство рациональных чисел гласит:

\(\frac{p}{q}=\frac{p \times n}{q \times n}\)

Такое решение называется приведением к общему знаменателю. Мы имеем право умножать одновременно на одно и тоже число и числитель и знаменатель.

Рассмотрим пример:

\(\frac{1}{2}=\frac{1 \times 4}{2 \times 4}=\frac{4}{8}\)

Получаем,

\(\frac{1}{2}=\frac{4}{8}\)

Наименьший общий знаменатель.

Что такое наименьший общий знаменатель?

Определение:
Наименьший общий знаменатель – это наименьшее положительное число кратное знаменателям данных дробей.

Как привести к наименьшему общему знаменателю? Чтобы ответить на этот вопрос рассмотрим пример:

Приведите дроби с разными знаменателями к наименьшему общему знаменателю .

Решение:
Чтобы найти наименьший общий знаменатель нужно найти наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей этих дробей.

У первой дроби знаменатель равен 20 разложим его на простые множители.
20=2⋅5⋅2

Так же разложим и второй знаменатель дроби 14 на простые множители.
14=7⋅2

НОК(14,20)= 2⋅5⋅2⋅7=140

Ответ: наименьший общий знаменатель будет равен 140.

Как привести дробь к общему знаменателю?

Нужно первую дробь \(\frac{1}{20}\) домножить на 7, чтобы получить знаменатель 140.

\(\frac{1}{20}=\frac{1 \times 7}{20 \times 7}=\frac{7}{140}\)
А вторую дробь  умножить на 10.

\(\frac{3}{14}=\frac{3 \times 10}{14 \times 10}=\frac{30}{140}\)

Правила или алгоритм приведения дробей к общему знаменателю.

Алгоритм приведения дробей к наименьшему общему знаменателю:

  1. Нужно разложить на простые множители знаменатели дробей.
  2. Нужно найти наименьшее общее кратное (НОК) для знаменателей данных дробей.
  3. Привести дроби к общему знаменателю, то есть умножить и числитель и знаменатель дроби на множитель.

Общий знаменатель для нескольких дробей.

Как найти общий знаменатель для нескольких дробей?

Рассмотрим пример:
Найдите наименьший общий знаменатель для дробей \(\frac{2}{11}, \frac{1}{15}, \frac{3}{22}\)

Решение:
Разложим знаменатели 11, 15 и 22 на простые множители.

Число 11 оно само по себе уже простое число, поэтому его расписывать не нужно.
Разложим число 15=5⋅3
Разложим число 22=11⋅2

Найдем наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей 11, 15, и 22.
НОК(11, 15, 22)=11⋅2⋅5⋅3=330

Мы нашли наименьший общий знаменатель для данных дробей. Теперь приведем данные дроби \(\frac{2}{11}, \frac{1}{15}, \frac{3}{22}\) к общему знаменатели равному 330.

\(\begin{align}
\frac{2}{11}=\frac{2 \times 30}{11 \times 30}=\frac{60}{330} \\\\
\frac{1}{15}=\frac{1 \times 22}{15 \times 22}=\frac{22}{330} \\\\
\frac{3}{22}=\frac{3 \times 15}{22 \times 15}=\frac{60}{330} \\\\
\end{align}\)

Вопросы по теме:
Какой общий знаменатель у дробей \(\bf \frac{2}{25}\) и \(\bf \frac{1}{14}\)?
Ответ:
Какой наименьший общий знаменатель у дробей 14 и 25? Воспользуемся алгоритмом приведения дробей к общему знаменателю алгебраических дробей.

Сначала разложим на простые множители знаменатели 14 и 25.
14=2⋅7
25=5⋅5
Теперь найдем НОК(14,25)=2⋅7⋅5⋅5=350.

Это мы нашли наименьший общий знаменатель:

\( \begin{align}
\frac{2}{25}=\frac{2 \times 14}{25 \times 14}=\frac{28}{350} \\\\
\frac{1}{14}=\frac{1 \times 25}{14 \times 25}=\frac{25}{350} \\\\
\end{align}\)

Но не всегда нужно находит наименьший общий знаменатель иногда, можно найти любой знаменатель, а потом можно конечную дробь сократить. Например, для дробей \(\frac{2}{25}\) и \(\frac{1}{14}\) знаменателем может быть число 700, 1400 и т.д.

Добавить комментарий