-->

Степенные или показательные уравнения.

Приветствую вас дорогие учащиеся!

Рекомендуем подписаться на канал на youtube нашего сайта TutoMath.ru, чтобы быть в курсе всех новых видео уроков.

Для начала вспомним основные формулы степеней и их свойства.

Произведение числа a само на себя происходит n раз, это выражение мы можем записать как a•a•…•a=an

1. a0 = 1 (a ≠ 0)

2. a1 = a

3. an • am = an + m

4. (an)m = anm

5. anbn = (ab)n

6. a-n= 1/an

7. an/am= an — m

Степенные или показательные уравнения – это уравнения в которых переменные находятся в степенях, а основанием является число.

Примеры показательных уравнений:

6x=36

В данном примере число 6 является основанием оно всегда стоит внизу, а переменная x степенью или показателем.

Приведем еще примеры показательных уравнений.
2x*5=10
16x — 4x — 6=0

Теперь разберем как решаются показательные уравнения?

Возьмем простое уравнение:

2х = 23

Такой пример можно решить даже в уме. Видно, что x=3. Ведь чтобы левая и правая часть были равны нужно вместо x поставить число 3.
А теперь посмотрим как нужно это решение оформить:

2х = 23
х = 3

Для того, чтобы решить такое уравнение, мы убрали одинаковые основания (то есть двойки) и записали то что осталось, это степени. Получили искомый ответ.

Теперь подведем итоги нашего решения.

Алгоритм решения показательного уравнения:
1. Нужно проверить одинаковые ли основания у уравнения справа и слева. Если основания не одинаковые ищем варианты для решения данного примера.
2. После того как основания станут одинаковыми, приравниваем степени и решаем полученное новое уравнение.

Теперь про решаем несколько примеров:

Начнем с простого.

2х+2 = 24

Основания в левой и правой части равны числу 2, значит мы можем основание отбросить и приравнять их степени.

x+2=4 Получилось простейшее уравнение.
x=4 — 2
x=2
Ответ: x=2

В следующем примере видно, что основания разные это 3 и 9.

3 — 9х+8 = 0

Для начала переносим девятку в правую сторону, получаем:

3 = 9х+8

Теперь нужно сделать одинаковые основания. Мы знаем что 9=32 . Воспользуемся формулой степеней (an)m = anm.

3 = (32)х+8

Получим 9х+8 =(32)х+8 =3 2х+16

3 = 3 2х+16 теперь видно что в левой и правой стороне основания одинаковые равные тройке, значит мы их можем отбросить и приравнять степени.

3x=2x+16 получили простейшее уравнение
3x — 2x=16
x=16
Ответ: x=16.

Смотрим следующий пример:

22х+4 - 10•4х = 24

В первую очередь смотрим на основания, основания разные два и четыре. А нам нужно, чтобы были — одинаковые. Преобразовываем четверку по формуле (an)m = anm.

4х = (22)х = 2

И еще используем одну формулу an • am = an + m:

22х+4 = 2•24

Добавляем в уравнение:

2•24 — 10•2 = 24

Мы привели пример к одинаковым основаниям. Но нам мешают другие числа 10 и 24. Что с ними делать? Если приглядеться видно, что в левой части у нас повторяется 2,вот и ответ — 2 мы можем вынести за скобки:

2(24 — 10) = 24

Посчитаем выражение в скобках:

24 — 10 = 16 — 10 = 6

6•2 = 24

Все уравнение делим на 6:

2= 4

Представим 4=22:

2 = 22 основания одинаковые, отбрасываем их и приравниваем степени.
2х = 2 получилось простейшее уравнение. Делим его на 2 получаем
х = 1
Ответ: х = 1.

Решим уравнение:

9х – 12*3х +27= 0

Преобразуем:
9х = (32)х = 3

Получаем уравнение:
3 — 12•3х +27 = 0

Основания у нас одинаковы равны трем.В данном примере видно, что у первой тройки степень в два раза (2x) больше, чем у второй (просто x). В таком случаем можно решить методом замены. Число с наименьшей степенью заменяем:

3х = t

Тогда 3 = (3х)2 = t2

Заменяем в уравнении все степени с иксами на t:

t2 — 12t+27 = 0
Получаем квадратное уравнение. Решаем через дискриминант, получаем:
D=144-108=36
t1 = 9
t2 = 3

Возвращаемся к переменной x.

Берем t1:
t1 = 9 = 3х

Стало быть,

3х = 9
3х = 32
х1 = 2

Один корень нашли. Ищем второй, из t2:
t2 = 3 = 3х
3х = 31
х2 = 1
Ответ: х1 = 2; х2 = 1.

Хочешь готовиться к экзаменам бесплатно? Репетитор онлайн бесплатно. Без шуток. ЗДЕСЬ

На сайте Вы можете в разделе ПОМОГИТЕ РЕШИТЬ задавать интересующие вопросы мы Вам обязательно ответим.

Вступайте в группу ВКОНТАКТЕ

Запомнить статью у себя на страничке:
Вы можете оставить комментарий, или ссылку на Ваш сайт.

Оставить комментарий

Вы должны быть авторизованы, чтобы разместить комментарий.


Thanks: Art-on