-->

Биквадратное уравнение. Алгоритм решения и примеры.

Биквадратные уравнения относятся к разделу школьной алгебры. Метод решения таких уравнений довольно простой, нужно использовать замену переменной.
Рассмотрим алгоритм решения:
-Что такое биквадратное уравнение?
-Как решить биквадратное уравнение?
-Метод замены переменной.
-Примеры биквадратного уравнения.
-Нахождение корней биквадратного уравнения.

Формула биквадратного уравнения:
ax4+bx2+c=0, где a≠0

Решение биквадратных уравнений сводится сначала к замене, а потом решению квадратного уравнения:
x2=t, t≥0
t должно быть положительным числом или равным нулю

Получаем квадратное уравнение и решаем его:
at2+bt+c=0,
где x и t — переменная,
a, b, c -числовые коэффициенты.

Пример №1:
x4-5x2+6=0

Делаем замену,
x2=t, t≥0

t2-5t+6=0
Получилось полное квадратное уравнение, решаем его через дискриминант:
D=b2-4∙1∙6=25-24=1
Дискриминант больше нуля, следовательно, два корня, найдем их:
1

Возвращаемся в замену, подставим вместо переменной t полученные числа:
x2=3

Чтобы решить такого вида уравнение, необходимо обе части уравнения занести под квадратный корень.
x1=√3
x2=-√3

x2=2
x3=√2
x4=-√2

Ответ: x1=√3, x2=-√3, x3=√2, x4=-√2

Пример №2:
Решить биквадратное уравнение.
x4-4x2+4=0

Делаем замену,
x2=t, t≥0

t2-4t+4=0
Получилось полное квадратное уравнение, решаем через дискриминант:
D=b2-4ac=(-4)2-4∙1∙4=16-16=0
Дискриминант равен нулю, следовательно, один корень, найдем его:
t=-b:2a=-(-4):(2∙1)=2

Возвращаемся в замену, подставим вместо переменной t полученное число:
x2=2
x1=√2
x2=-√2

Ответ: x1=√2, x2=-√2

Можно не во всех случаях делать замену. Рассмотрим пример.

Пример №3:
Решить биквадратное уравнение.
-4x4+16x2=0

Выносим переменную x2 за скобку,
x2(-4x2+16)=0

Приравниваем каждый множитель к нулю,
x2=0
x1=0

-4x2+16=0
-4x2=-16
Делим все уравнение на -4:
Чтобы решить x2=4 такое уравнение, необходимо, обе части уравнения занести под квадратный корень.
x2=4
x2=2
x3=-2

Ответ: x1=0, x2=2, x3=-2

Пример №4:
Решите биквадратное уравнение.
x4-16=0

Делаем замену,
x2=t, t≥0

Получилось неполное квадратное уравнение решаем его.
t2-16=0
t2=16
t1=4
t2=-4 не подходит условию t≥0

Возвращаемся в замену, подставим вместо переменной t полученное число:
x2=4
x1=2
x2=-2

Ответ: x1=2, x2=-2

Пример №5:
x4+10=0

Делаем замену,
x2=t, t≥0

Получилось неполное квадратное уравнение решаем его.
t2+10=0
t2=-10, не подходит условию t≥0

Ответ: решения нет.

Подписывайтесь на канал на YOUTUBE и смотрите видео, подготавливайтесь к экзаменам по математике и геометрии с нами.

Запомнить статью у себя на страничке:
Вы можете оставить комментарий, или ссылку на Ваш сайт.

Оставить комментарий

Вы должны быть авторизованы, чтобы разместить комментарий.


Thanks: Art-on