-->

Биквадратное уравнение. Алгоритм решения и примеры.

Биквадратные уравнения относятся к разделу школьной алгебры. Метод решения таких уравнений довольно простой, нужно использовать замену переменной.
Рассмотрим алгоритм решения:
-Что такое биквадратное уравнение?
-Как решить биквадратное уравнение?
-Метод замены переменной.
-Примеры биквадратного уравнения.
-Нахождение корней биквадратного уравнения.

Формула биквадратного уравнения:
ax4+bx2+c=0, где a≠0

Решение биквадратных уравнений сводится сначала к замене, а потом решению квадратного уравнения:
x2=t, t≥0
t должно быть положительным числом или равным нулю

Получаем квадратное уравнение и решаем его:
at2+bt+c=0,
где x и t — переменная,
a, b, c -числовые коэффициенты.

Пример №1:
x4-5x2+6=0

Делаем замену,
x2=t, t≥0

t2-5t+6=0
Получилось полное квадратное уравнение, решаем его через дискриминант:
D=b2-4∙1∙6=25-24=1
Дискриминант больше нуля, следовательно, два корня, найдем их:
1

Возвращаемся в замену, подставим вместо переменной t полученные числа:
x2=3

Чтобы решить такого вида уравнение, необходимо обе части уравнения занести под квадратный корень.
x1=√3
x2=-√3

x2=2
x3=√2
x4=-√2

Ответ: x1=√3, x2=-√3, x3=√2, x4=-√2

Пример №2:
Решить биквадратное уравнение.
x4-4x2+4=0

Делаем замену,
x2=t, t≥0

t2-4t+4=0
Получилось полное квадратное уравнение, решаем через дискриминант:
D=b2-4ac=(-4)2-4∙1∙4=16-16=0
Дискриминант равен нулю, следовательно, один корень, найдем его:
t=-b:2a=-(-4):(2∙1)=2

Возвращаемся в замену, подставим вместо переменной t полученное число:
x2=2
x1=√2
x2=-√2

Ответ: x1=√2, x2=-√2

Можно не во всех случаях делать замену. Рассмотрим пример.

Пример №3:
Решить биквадратное уравнение.
-4x4+16x2=0

Выносим переменную x2 за скобку,
x2(-4x2+16)=0

Приравниваем каждый множитель к нулю,
x2=0
x1=0

-4x2+16=0
-4x2=-16
Делим все уравнение на -4:
Чтобы решить x2=4 такое уравнение, необходимо, обе части уравнения занести под квадратный корень.
x2=4
x2=2
x3=-2

Ответ: x1=0, x2=2, x3=-2

Пример №4:
Решите биквадратное уравнение.
x4-16=0

Делаем замену,
x2=t, t≥0

Получилось неполное квадратное уравнение решаем его.
t2-16=0
t2=16
t1=4
t2=-4 не подходит условию t≥0

Возвращаемся в замену, подставим вместо переменной t полученное число:
x2=4
x1=2
x2=-2

Ответ: x1=2, x2=-2

Пример №5:
x4+10=0

Делаем замену,
x2=t, t≥0

Получилось неполное квадратное уравнение решаем его.
t2+10=0
t2=-10, не подходит условию t≥0

Ответ: решения нет.

Подписывайтесь на канал на YOUTUBE и смотрите видео, подготавливайтесь к экзаменам по математике и геометрии с нами.

Виды чисел.

У нас есть числа натуральные, целые, рациональные и иррациональные, а также вещественные или действительные и еще есть другие, но в школьной программе в основном используют эти числа.

Натуральные числа ( N ) − это числа, используемые для счета предметов. Нуль не является натуральным числом.
Например: 1; 2; 3; 132; 168; 326; 548; 10050…

Целые числа ( Z ) — множество чисел, получающееся в результате арифметических операций сложения (+) и вычитания (−) натуральных чисел.
Например: …−3; −2; 1; 0; 548; 10050…

Рациональные числа ( Q ) – это положительные и отрицательные числа можно представить в виде обыкновенной несократимой дроби вида:
рациональные числа
где m−целое число (числитель), n – натуральное число (знаменатель).
Например:
рациональные числа пример

Иррациональные числа ( I ) − числа, которые не представимыми в виде дроби вида
рациональные числа
Например: √2; √5; π; e

Вещественные (действительные) числа ( R ).
Рациональные числа и иррациональные числа образуют множество действительных чисел.
Изобразим это множество чисел в виде рисунка:
Натуральные числа, рациональные числа, иррациональные числа, действительные числа

Видно их вложенность друг в друга.

Подписывайтесь на канал на YOUTUBE и смотрите видео, подготавливайтесь к экзаменам по математике и геометрии с нами.

Как построить окружность?

Как построить окружность?

Окружностью называется фигура которая состоит из всех точек плоскости равноудаленных от данной точки. Эта точка называется центром окружности.

Радиусом называется любой отрезок соединяющей точку окружности с ее центром.

Чтобы построить окружность необходимо знать уравнение окружности:

(х – а)2 + (у – b)2 = R 2

Точка С(а;b) центр окружности, радиус R, х и у – координаты произвольной точки окружности.

И так, чтобы построить окружность необходимо знать цент окружности и радиус. Рассмотрим пример:

Пример №1:
(х – 1)2 + (у – 2)2 = 42

Найдем центр окружности:
х – 1=0
x=1

у – 2=0
y=2

Центр окружности будет находится в точке (1;2)

Найдем радиус окружности:
R 2=4
R 2=22
R=2

Построим окружность. Отметим сначала центр окружности, а потом отложим с четырех сторон (вверх, вниз, влево и право) длину радиуса и отметим эту длину точками. Потом проведем окружность.
Построить окружность по уравнению

Пример №2:
х2 + (у + 1)2 =1

Можно представить уравнение окружности ввиде:
(х-0)2 + (у + 1)2 =12

Найдем центр окружности:
х=0

у + 1=0
y=–1

Центр окружности будет находится в точке (0;–1)

Найдем радиус окружности:
R 2=1
R 2=12
R=1

Построим окружность.
Построим окружность по уравнению

Подписывайтесь на канал на YOUTUBE и смотрите видео, подготавливайтесь к экзаменам по математике и геометрии с нами.

Гипербола

Что такое гипербола? Как построить гиперболу? (Для школьников (7-11 классов)).

Математическая гипербола.

Функция заданная формулой y = k/x, где к неравно 0. Число k называется коэффициентом обратной пропорциональности.
Определение гиперболы.
График функции y = k/x называют гиперболой. Где х является независимой переменной, а у — зависимой.

Что нужно знать, чтобы построить гиперболу?
Теперь обсудим свойства гиперболы:

1. Ветви гиперболы. Если k>o, то ветви гиперболы находятся в 1 и 3 четверти. Если k<0, то ветви гиперболы находятся во 2 и 4 четверти.

гипербола, где k>0 ветви гиперболы находятся в 1 и 3 четверти.

гипербола, где k>0 ветви гиперболы находятся в 1 и 3 четверти.

гипербола, где k<0 ветви гиперболы находятся во 2 и 4 четверти

гипербола, где k<0 ветви гиперболы находятся во 2 и 4 четверти

2.Асимптоты гиперболы. Чтобы найти асимптоты гиперболы необходимо,иногда, уравнение гиперболы упростить. Рассмотрим на примере:
Пример №1:
y=1/x
Знаменатель не может равняться 0, потому что на 0 делить нельзя, поэтому х неравен 0.
x≠0 это первая асимптота.
3
1/x дробь отбрасываем, для того чтобы найти вторую асимптоту.
Остается простое число
y≠0 это вторая асимптота.
И так, асимптоты x≠0 и y≠0 в данном примере совпадают с осями координат OX и OY.
k=1, значит гипербола будет находится в первой и третьей четверти. k всегда находится в числители.
Построим примерный график гиперболы.
гипербола y=1/x

Пример №2:
y=1/(x+2)-1
Находим первую асимптоту.
Знаменатель не может равняться 0, потому что на 0 делить нельзя, поэтому х+2 неравен 0.
х+2≠0
х≠-2 это первая асимптота

Находим вторую асимптоту.
7
Остается y≠ -1 это вторая асимптота.

Строим примерный график, отмечаем асимптоты (красным проведены прямые х≠-2 и y≠-1):
построим гиперболу

построить гиперболу

Пример №3:
гипербола

Находим первую асимптоту.
Знаменатель не может равняться 0, потому что на 0 делить нельзя, поэтому 1+х неравен 0.
1+х≠0
х≠-1 это первая асимптота.

Находим вторую асимптоту. Дробь убираем.
гипербола

Остается y≠1 это вторая асимптота.

Строим примерный график, отмечаем асимптоты (красным проведены прямые х≠-1 и y≠1):
построить гиперболу

построить гиперболу

3. У гиперболы есть центр симметрии относительно начала координат. Рассмотрим на примере:
гипербола y=1/x

Возьмем точку А(1;1) с координатами, которая находится на графике у=1/х. На этом же графике лежит точка B(-1;-1). Видно, что точка А симметрична точке В относительна начала координат.
гипербола 1/х

4. Оси симметрии гиперболы. У гиперболы две оси симметрии. Рассмотрим пример:
гипербола y=1/x

Первой осью симметрии является прямая y=x. Посмотрим точки (0,5;2) и (2;0,5) и еще точки (-0,5;-2) и (-2;-0,5). Эти точки расположены по разные стороны данной прямой, но на равных расстояниях от нее, они симметричны относительно этой прямой.

Вторая ось симметрии это прямая y=-x.

оси симметрии гиперболы

5. Гипербола нечетная функция.

нечетная функция

6. Область определения гиперболы и область значения гиперболы. Область определения смотрим по оси х. Область значения смотрим по оси у. Рассмотрим на примере:
y=-1/(x-1)-1

а) Находим первую асимптоту.
Знаменатель не может равняться 0, потому что на 0 делить нельзя, поэтому x-1 неравен 0.
x-1≠0
х≠1 это первая асимптота.

Находим вторую асимптоту.
асимптота

Остается y≠ -1 это вторая асимптота.

б) k=-1, значит ветви гиперболы будут находится во второй и четвертой четверти.

в) Возьмем несколько дополнительных точек и отметим их на графике.
х=0 y=0
x=-1 y=-0,5
x=2 y=-2
x=3 y=-1,5

г) Область определения смотрим по оси х. Графика гиперболы не существует по асимптоте х≠1, поэтому область определения будет находится
х ∈ (-∞;1)U(1;+∞).

д) Область значения смотрим по оси y. График гиперболы не существует по асимптоте y≠ -1, поэтому область значения будет находится
y ∈ (-∞;-1)U(-1;+∞).

е) функция возрастает на промежутке x ∈ (-∞;1)U(1;+∞).
график гиперболы

построить гиперболу

7. Убывание и возрастание функции гиперболы. Если k>0, функция убывающая. Если k<0 функция возрастающая.

8. Для более точного построения взять несколько дополнительных точек. Пример смотреть в пункте №6.

Подписывайтесь на канал на YOUTUBE и смотрите видео, подготавливайтесь к экзаменам по математике и геометрии с нами.
реклама

Диаметр основания конуса

Диаметр основания конуса равен 42, а длина образующей равна 75. Найдите высоту конуса.

Диаметр основания конуса равен .Найдите высоту конуса.

Решение:

Обозначим высоту за ОВ
АС=42 диаметр
АО=ОС это радиусы, поэтому АО=АС:2=42:2=21
АВ=75 образующая конуса
(Отрезок, соединяющий вершину конуса с точкой окружности основания, называются образующей, конуса.)

Диаметр основания конуса равен 42, а длина образующей равна 75. Найдите высоту конуса.

Из прямоугольного треугольника АВО, найдем ОВ по теореме Пифагора:
(В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов)

АВ2=АО2+ОВ2
752=212+ОВ2
5625=441+ОВ2
ОВ2=5625-441
ОВ2=5184
ОВ2=722
ОВ=72

Диаметр основания конуса равен 42, а длина образующей равна 75. Найдите высоту конуса.

Ответ: 72

Подписывайтесь на канал на YOUTUBE и смотрите видео, подготавливайтесь к экзаменам по математике и геометрии с нами.

Около конуса описана сфера

Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основание конуса и его вершину). Центр сферы совпадает с центром основания конуса. Радиус конуса равен 10√2. Найдите образующую конуса.

Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основание конуса и его вершину). Центр сферы совпадает с центром основания конуса. Радиус конуса равен 10√2. Найдите образующую конуса.

Решение:

АВ- образующая конуса
( Отрезок, соединяющий вершину конуса с точкой окружности основания, называется образующей )

ОА=ОВ=10√2 радиусы сферы

Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основание конуса и его вершину). Центр сферы совпадает с центром основания конуса. Радиус конуса равен 10√2. Найдите образующую конуса.
Из прямоугольного треугольника АОВ найдем АВ по теореме Пифагора:
(В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов)

АВ2=АО2+ОВ2
АВ2=(10√2)2+(10√2)2
АВ2=(10)2(√2)2+(10)2(√2)2
АВ2=100•2+100•2
АВ2=400
АВ2=20
Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основание конуса и его вершину). Центр сферы совпадает с центром основания конуса. Радиус конуса равен 10√2. Найдите образующую конуса.
Ответ: 20

Подписывайтесь на канал на YOUTUBE и смотрите видео, подготавливайтесь к экзаменам по математике и геометрии с нами.

Реклама

Найдите синус угла ВАС.

В треугольнике АВС АС=ВС, АВ=20, высота АН=8. Найдите синус угла ВАС.
В треугольнике АВС АС=ВС, АВ=20, высота АН=8. Найдите синус угла ВАС
Решение:

АС=ВС следовательно треугольник АВС равнобедренный и угол ВАС равен углу В

В треугольнике АВС АС=ВС, АВ=20, высота АН=8. Найдите синус угла ВАС

АВ=20
АН=8

Из прямоугольного треугольника АНВ найдем синус угла В:
Синус — это отношение противолежащего катета АН к гипотенузе АВ.
sin(B)=AH:AB=8:20=0,4

В треугольнике АВС АС=ВС, АВ=20, высота АН=8. Найдите синус угла ВАС
Ответ: 0,4

Подписывайтесь на канал на YOUTUBE и смотрите видео, подготавливайтесь к экзаменам по математике и геометрии с нами.

В треугольнике АВС

В треугольнике АВС АС=ВС, АВ=14, АН — высота, ВН=7. Найдите косинус угла ВАС.

В треугольнике АВС АС=ВС, АВ=14, АН - высота, ВН=7. Найдите косинус угла ВАС.

Решение:
Так как АС=ВС, то треугольник АВС равнобедренный. Следует, что угол А равен углу В.
Поэтому найдем косинус угла В из прямоугольного треугольника АНВ.
Косинус — это отношение прилежащего катета (НВ) к гипотенузе (АВ).
В треугольнике АВС АС=ВС, АВ=14, АН - высота, ВН=7. Найдите косинус угла ВАС.
АВ=14
ВН=7

Cos(B)=BH:AB=7:14=0,5
В треугольнике АВС АС=ВС, АВ=14, АН - высота, ВН=7. Найдите косинус угла ВАС.
Ответ: 0,5

Подписывайтесь на канал на YOUTUBE и смотрите видео, подготавливайтесь к экзаменам по математике и геометрии с нами.

В треугольнике ABC AD-биссектриса

В треугольнике ABC AD-биссектриса, угла С равен 64 градуса, угол CAD равен 33 градуса.Найдите угол В.
В треугольнике ABC  AD-биссектриса, угла С равен 64 градуса, угол CAD равен 33 градуса.Найдите угол В
Решение:

Так как AD — биссектриса (делит угол А пополам), то получается угол CAD равен углу DAB, они оба по 33 градуса.
В треугольнике ABC  AD-биссектриса, угла С равен 64 градуса, угол CAD равен 33 градуса.Найдите угол В
Угол А будет равен сумме угла CAD и угла DAB
угол А=CAD+DAB=33°+33°=66°

Угол С равен 64° по условию

Сумма углов в треугольнике равна 180°. Найдем угол В из треугольника АВС.
Угол В=180°-А-С=180°-66°-64=50°
В треугольнике ABC  AD-биссектриса, угла С равен 64 градуса, угол CAD равен 33 градуса.Найдите угол В
Ответ: 50°

Подписывайтесь на канал на YOUTUBE и смотрите видео, подготавливайтесь к экзаменам по математике и геометрии с нами.

Реклама

Найдите тангенс угла С треугольника АВС.

Найдите тангенс угла С треугольника АВС.
Найдите тангенс угла С треугольника АВС
Решение:
Если рассмотреть тангенс относительно угла С, то:
Тангенс — это отношение противолежащего катета (AB) к прилежащему катету (AC).

tg(c)=AB:AC

Посчитаем по клеточкам стороны треугольника АВ и АС:
AB=3
AC=4

Подставим:
tg(c)=3:4=0,75

Найдите тангенс угла С треугольника АВС
Ответ: 0,75

Подписывайтесь на канал на YOUTUBE и смотрите видео, подготавливайтесь к экзаменам по математике и геометрии с нами.

Реклама


Thanks: Wordpress